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【基础】常见不等式整理

在学到 11 讲时，再次大量用到了不等式进行证明。索性新建一个文档专门把所有我见过的不等式整理到一起，以后找起来也方便些。将曾在其他讲整理过的不等式先 copy 过来，再补充一些之前未注意到的（现在再次出现，不得不重视了）。将新出现的一些不等式放到之前的第九讲也不太方便，专门整理到一起最合适不过了。

见： [[【前8讲】必背公式和定理整理]]

1. 重要不等式 (第二讲)

各种证明必备，一定要掌握。

1.1 绝对值不等式

  1. \(||a|-|b||\leq|a-b|\leq|a|+|b|\)
  2. \(|a\pm b|\leq|a|+|b|\)
  3. 推广：\(|a_{1}\pm a_{2}\pm a_{3}\pm\dots\pm a_{n}|\leq|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+\dots+|a_{n}|\)

1.2 基本不等式

  1. \(\sqrt{ ab } \leq \frac {{a+b}} {2} \leq \sqrt{ \frac {{a^{2}+b^{2}} }{2} }, \quad (a, b\geq 0)\)
  2. \(|ab| \leq \frac{{a^{2}+b^{2}}}{2}\)
  3. \(\sqrt[3]{ abc } \leq \frac {{a+b+c}} {3} \leq \sqrt[3]{ \frac {{a^{2}+b^{2}+c^{2}} }{3} }, (a,b,c\geq 0)\)

1.3 函数不等式

  1. \(\sin x<x<\tan x\left( 0<x< \frac{\pi}{2} \right)\)
  2. \(\sin x < x(x>0)\)
  3. \(\sin x > \frac{2}{\pi}x \left( 0<x< \frac{\pi}{2} \right)\)
  4. \(x<\tan x< \frac{4}{\pi} x \left( 0<x< \frac{\pi}{4} \right)\)
  5. \(\arctan x \leq x \leq \arcsin x(0\leq x\leq 1)\)
  6. \(e^x\geq x+1\)
  7. \(x-1 \geq \ln x\)
  8. \(\frac{1}{1+x} < \ln\left( 1+\frac{1}{x} \right) < \frac{1}{x} (x>0)\)
  9. \(\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x (x>0)\)

1.4 压缩映射原理

原理一：对数列 \(\{x_{n}\}\)，若存在常数 \(k(0<k<1)\)，使得 \(|x_{n+1}-a|\leq k|x_{n}-a|\quad(n=1,2,3,\dots)\) ，则 \(\{x_{n}\}\) 收敛于 \(a\).

2. 其他不等式

  1. \(0 \leq f(x)+|f(x)| \leq 2f(x)\)
  2. \(|\int_{a}^b f(x) \, dx|\leq \int_{a}^b |f(x)| \, dx\)
  3. 当 \(0<a<y<b,0<c<x<d\) 时，有 \(\frac{a}{d} < \frac{y}{x} < \frac{b}{c}\).

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