【基础】泰勒展开式
在前八讲中陆续学到了泰勒展开通式、泰勒展开式的两种形式：带拉格朗日形式以及带佩诺亚余项形式。整理的稍有不足，随着学习的深入泰勒展开式逐渐占据一定地位，遂决定专门整理为一个文件，将之前的那些 [[【前8讲】必背公式和定理整理]]也一并复制过来。
1. 泰勒展开通式¶
\[
y=f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n \quad (通式)
\]
特殊的，当 \(x_{0}=0\) 时有：
\[
y=f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \quad (x_{0}=0)
\]
- 带拉格朗日余项的 \(n\) 阶泰勒展开通式：
\[
f(x)= f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\dots+ \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})(x-x_{0})^{n}+\boxed{ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}}
\]
方框内带有 \(\xi\) 的式子是误差项。
- 带佩诺亚余项的 \(n\) 阶泰勒展开公式.
\[
f(x)= f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\dots+ \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})(x-x_{0})^{n}+\boxed{
o((x-x_{0})^n)
}
\]
方框内是佩诺余项。
2. 常用泰勒展开式¶
🐙说过，每天起床第一件事就是背泰勒展开式，一起来...
- \(e^x\) = \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) = \(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots,\quad-\infty<x<\infty\).
- \(\frac{1}{1+x}\) = \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\) = \(1-x+x^{2}-x^{3}+\dots+(-1)^nx^n+\dots, \quad -1<x<1\).
- \(\frac{1}{1-x}\) = \(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\) = \(1+x+x^{2}+\dots+x^n+\dots, \quad -1<x<1\).
- \(\ln(1+x)\) = \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n!}\) = \(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+\dots, \quad-1<x\leq1\).
- \(\sin x\) = \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) = \(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots \quad (-\infty < x < +\infty)\).
- \(\cos\) = \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\) = \(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+\dots, \quad -\infty<x<+\infty\).
- \((1+x)^a\) = \(1+ax+ \frac{a(a-1)}{2!}x^{2}+\dots+ \frac{a(a-1)\dots(a-n+1)}{n!}x^n+\dots, \quad -\infty<x<+\infty\).
$$ (7.) \begin{cases} x\in(-1, 1),\quad a\leq-1 \ x\in(-1, 1],\quad -1<a<0, \ x\in[-1, 1],\quad a>0, a\not\in N_{+}, \ x\in R, \quad a\in N_{+}. \end{cases} $$ 8. \(\tan x\) = \(x+\frac{1}{3}x^{3}+\dots\) 9. \(\arcsin x\) = \(x+\frac{1}{6}x^{3}+\dots\) 10. \(\arctan x\) = \(x-\frac{1}{3}x^{3}+\dots\)
3. 必备低阶泰勒展开式¶
在学习第一讲时背诵的低阶泰勒展开式，足矣应付考研大部分情况。
- \(\sin 🐶\) = \(🐶 - \frac{🐶^3}{3!}+O(🐶^3)\)
- \(\arcsin 🐶\) = \(🐶+\frac{🐶^3}{3!}+O(🐶^3)\)
- \(\cos 🐶\) = \(1 - \frac{🐶^{2}}{2!}+\frac{🐶^4}{4!}+O(🐶^4)\)
- \(\tan🐶\) = \(🐶+\frac{🐶^3}{3}+O(🐶^3)\)
- \(\arctan🐶\) = \(🐶-\frac{🐶^3}{3}+O(🐶^3)\)
- \(\ln(1+🐶)\) = \(🐶-\frac{🐶^{2}}{2}+\frac{🐶^3}{3}+O(🐶^3)\)
- \(e^🐶\) = \(1+🐶+\frac{🐶^{2}}{2!}+\frac{🐶^3}{3!}+O(🐶^3)\)
- \((1+🐶)^a\) = \(a+a🐶+\frac{a(a-1)}{2}🐶^{2}+O(🐶^{2})\)
4. 重要麦克劳林展开式¶
当通式中的 \(x_{0}=0\) 时，该式称为麦克劳林展开式。
- 带拉格朗日余项的 \(n\) 阶麦克劳林展开式：
\[
f(x)= f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\dots+ \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})(x-x_{0})^{n}+\boxed{ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}}
\]
方框内带有 \(\xi\) 的式子是误差项。
- 带佩诺亚余项的 \(n\) 阶麦克劳林展开式.
\[
f(x)= f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\dots+ \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})(x-x_{0})^{n}+\boxed{
o(x^n)
}
\]
方框内是佩诺余项。
常用的麦克劳林展开式：
- \(e^x = 1+x+ \frac{1}{2!}x^{2}+\dots+ \frac{1}{n!}x^n+O(x^n)\)
- \(\sin x=x- \frac{x^{3}}{3!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})\)
- \(\cos x=1- \frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})\)
- \(\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\dots+x^n+o(x^n)\)
- \(\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\dots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+o(x^n)\)
- \(\boxed{(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2}}+\dots+ \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n).(5的推广)\)
对于 \(6.\) 记住前三项足矣