【第10讲】积分几何应用（一）
这一讲新的公式很多，并且题目也以套公式为主、计算量比较大，打法比较固定，需要花较多的时间在记忆上。
1. 平面图形的面积¶
- \(y=y_1(x)\) 与 \(y=y_2(x)\) 及 \(x=a, x=b\) 所围成面积图形面积：
\[
S=\int_a^b |y_1(x)-y_2(x)|d_x
\]
- 曲线 \(r=r_{1}(\theta)\) 与 \(r=r_{2}(\theta)\) 与两射线 \(\theta=\alpha\) 与 \(\theta=\beta\) 所围曲边扇形面积：
\[
S=\int _{\alpha}^\beta \frac{1}{2} |r_{2}^{2}(\theta)-r_{1}^{2}(\theta)| \, d_\theta
\]
2. 旋转体体积¶
- 曲线 \(y=y(x)\) 与 \(x=a,x=b(a<b)\) 及 x 轴围成的曲边梯形绕 \(x\) 轴旋转一周所得到的旋转体体积为：
\[
V_{x}=\int ^b_{a} \pi y^{2}(x) \, d_x
\]
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曲线 \(y=y(x)\) 与 \(x=a,x=b(0\leq a<b)\) 及 \(x\) 轴围成的曲边梯形绕 \(y\) 轴旋转一周所得到的旋转体的体积为： $$ V_{y}=2\pi \int^b_{a}x|y(x)| d_x $$
-
平面曲线绕定直线旋转：
平面曲线 \(L: y=f(x),a\leq x\leq b\)，且 \(f(x)\) 可导. 定直线 \(L_{0}: Ax+By+C=0\)，且过 \(L_{0}\) 的任一垂线与 \(L\) 至多一个交点.
\[
V = \frac{\pi}{(A^{2}+B^{2})^{\frac{3}{2}}} \int^b_{a}[Ax+Bf(x)+C]^{2} \cdot |Af'(x)-B|d_x
\]
特别的，当 \(A=C=0,B\neq 0，\) 则 \(L_{0}\) 为 \(y=0(x轴)\)：
\[
V=\pi \int^b_{a}f^{2}(x)d_x
\]
3. 函数平均值¶
设 \(x \in [a,b]\)，函数 \(y(x)\) 在 \([a,b]\) 上的平均值为 \(\bar{y}= \frac{1}{b-a} \int^b_{a} y(x)dx \implies \bar{y}=y(\xi), \xi \in [a,b]\)（利用积分中值定理证明）
4. 其他几何应用¶
- “平面上的曲边梯形”的形心坐标公式：
\[
\bar{x}= \frac{\int^b_{a} xf(x)d_x}{\int^b_{a} f(x)d_x}
\]
\[
\bar{y} = \frac{\frac{1}{2}\int^b_{a} f^{2}(x)d_x}{\int^b_{a}f(x)d_x}
\]
- 平面曲线的弧长：
\[
\begin{cases}
直角坐标系 y=f(x), S=\int^b_{a}\sqrt{ 1+[y'(x)]^{2} }d_x \\
参数方程 \begin{cases}
x=x(t) \\
y=y(t)
\end{cases},S=\int^\beta_{\alpha}\sqrt{ [x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2} }d_t \\
极坐标方程 r=r(\theta), S=\int_{\alpha}^\beta \sqrt{ [r(\theta)]^{2}+[r'(\theta)]^{2} }d_x
\end{cases}
\]
- 曲线绕 \(x\) 轴旋转所得到的侧面积：
\(S=2\pi \int_{a}^b f(x)d_{s}\)
\[
\begin{cases}
直角坐标系,S=2\pi \int^b_{a} |y| \sqrt{ 1+(y'_{x})^{2} }d_x. \\
参数方程,S=2\pi \int^\beta_{\alpha}|y(t)|\sqrt{ (x'_{t})^{2}+(y'_{t})^{2} }d_t. \\
极坐标系,S=2\pi \int^\beta_{\alpha}|r(\theta)\sin \theta|\sqrt{ [r(\theta)]^{2}+[r'(\theta)]^{2} }d_\theta.
\end{cases}
\]
- 截面面积为已知的立体体积：
\[
V=\int^b_{a}A(x)d_{}x.
\]
\(A(x)\) 为截面面积，\(dx\) 为微元截面长度。