【第11讲】积分积分应用（二）
关于本讲中大部分的不等式，都需要用到有关绝对值、基本函数的放缩，可见常见不等式有多重要，个人认为最好能做到人形哈希出常用的不等式，看到各种绝对值表达式应该能够很敏感地想到各种放缩、亡羊补牢、未雨绸缪...
其中最为重要的不过基本不等式和放缩了，在任何一个方法下都会用到。关于放缩的内容本质上还是在考察你常见不等式是否熟练。
1. QA¶
Q: 为什么 \(\int_{a}^b f(x)g(x)d_{x} = f(\xi) \int _{a}^b g(x) \, dx\) 成立需要满足 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 上不变号，如果变号会怎么样（证明过程采用柯西中值定理解释）？
A: 推导过程中有关键步骤：
如果 \(g(x)\) 变号，面积很可能为 0。
一、积分等式¶
1.1 用中值定理¶
设 \(f(x), g(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，且 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 上不变号，证明：存在 \(\xi\in(a,b)\)，使得： $$ \int^b_{a}f(x)g(x)d_{x} = f(\xi)\int^b_{a} g(x)d_{x} $$
独家记忆方法😎：留下不变号的函数，其余部分提到积分号外边并将变量替换为 \(\xi\)。
1.2 用夹逼准则¶
这部分需要掌握不等式的放缩、常见函数的不等式，并学会套用夹逼准则。
一个一般结论，设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，则 \(\lim_{ n \to \infty }\int_{0}^1x^nf(x)d_{x}=0\).
证明采用夹逼准则+积分估值定理，个人认为这个结论是很强大的，无论 \(f(x)\) 是什么，只要乘上 \(x^n\) 在 \([0,1]\) 上取积分，并让 \(n\) 趋近于无穷，就能保证最后积出来的面积是 \(0\)，令人拍案。
积分估值定理：[[【前8讲】必背公式和定理整理]]
1.3 用积分法¶
如果遇到形式如 \(\int f'(x)g(x) d_{x}\) 的积分，可以考虑利用分布积分将 \(f'(x)\) 放到 \(d_{x}\) 中去，这样就可以做到对 \(f(x)\) 进行降阶。
如: $$ \int f'(x)g(x) d_{x}=\int g(x) d_{f(x)} $$
可以看到，\(f'(x)\to f(x)\)，被我们降阶了，这样用分布积分就可以将 \(f(x)\) 再次交换回积分中间，但代价是得到了一个 \(g'(x)\)。
虽然会得到一个 \(g'(x)\) ，但在 \(g'(x)\) 相对简单的情况下，这种交易🤝是很有价值的，特别是 \(f'(x)\) 只给了一个抽象函数，而 \(g(x)\) 是一个给出的基本函数，这种时候我们往往能得到我们想要的东西。
二、积分不等式¶
2.1 用函数单调性¶
这里考察了积分的构造，通过将一个积分的上下限（一般是上限）进行改造，得到一个辅助函数，由辅助函数（求导）得到积分的单调性，从而确定范围。
我们可以将一个形式如 \(\int_{a}^b f(x)d_{x}\) 的表达式改造为 \(f_{a}^x f(t)d_{t}\)，这样就从一个定值将其抽象为了一个函数，通过研究函数的性质得到不等式关系。
该方法的思想就是构造。
2.2 用拉格朗日中值定理¶
拉格朗日中值定理见：[[【第6讲】中值定理相关整理]] 的专题整理，如 例 11.8 中要找到 \(f(x)\) 和 \(f'(x)\) 的关系就可以考虑用拉格朗日中值定理构建 \(f(x)\) 与 \(f'(x)\) 的关系。
再利用好连续函数上 \(f'(\xi)\) 一定存在最大值即可。
2.3 用泰勒公式¶
若题目中有“\(f(x)\) 二阶可导”且题目中有简单函数可以考虑泰勒展开，对于泰勒展开又可以分为带佩诺亚余项展开和拉格朗日余项的展开，如果题目中不涉及极限一般采用拉格朗日展开，届时会产生带有 \(\xi\) 的误差项，我们利用 \(\xi\) 作文章即可。
2.4 用积分法¶
被积函数是两项相乘形式可考虑该方法。
2.5 用牛顿-莱布尼兹公式¶
一个很绝妙的构造，零生万物，如果条件中给了 \(f(a)=f(b)=0\) 类似的 \(0\) 值，可以考虑把零加在式子的任何一个地方构造出新的函数：\(f(x)=f(x)-f(a)=\int_{a}^x f'(t)d_{t}\)。
如果对 \(f'(x)\) 求原函数并代入 \(x\) 和 \(a\) 就是在用牛顿-莱布尼兹公式了。
对于这个公式要熟记于心：