【第13讲】多元函数微分学整理
最近突然发现自己在
Obsidian上的数学笔记有点背离初衷了，从最开始单纯为了利用Obsidian插件更快编写Latex以便导入到Anki，逐渐本末倒置地照抄书上概念，仅仅为了“笔记好看”。从十三讲的学习开始回归初衷，把真正需要记忆的定理和公式单独记录下来（同样是为了方便导入Anki，减少做题时不必要的回忆公式的时间），其他一概不抄、不记、不浪费多余时间。
这一讲本身没有需要记忆的内容，更多是前面的公式&结论需要综合应用在此。
高阶导数极值判别¶
这个公式在第五讲中用过，当时觉得自己记住了，现在看来是大脑的幻觉在作怪，实际上学到 13 讲回过头来看已经忘记，虽然忘记，但是不亏，至少打破了这种幻觉。让我意识到这个公式有必要加入到 Anki 中周期性、间隔地复习，而不是只理解一遍，就错误的认为自己已经“会了”。
在做题时用到了高阶导数的判别，在这里记录下来，完整内容见第五讲：
设 \(f(x)\) 在 \(x=x_{0}\) 处 \(n\) 阶可导，且 \(f^{(m)}(x_{0})=0(m=1,2,\dots,n-1)，f^{(n)}(x_{0})\neq {0}(n\geq 2)\)，则：
可以看到 \(n\) 一定是偶数的，我竟错误记忆为有奇偶两种情况。
在三十讲中 P 369 使用到了此结论，是为上述公式在偏导数上的推广。
在第十三讲中的推广为：
设函数 \(f(x,y)\) 具有二阶连续偏导数，且在点 \((x_{0},y_{0})\) 处取极大值，记 \(a=\frac{ \partial^{2}f }{ \partial x^{2} }|_{(x_{0},y_{0})},b=\frac{ \partial^{2}f }{ \partial y^{2} }|_{(x_{0},y_{0})}\)，则 \(a\leq 0, b\leq 0\).
分布积分的表格法¶
在学习第九讲时没有深刻理解到分布积分中表格法的好用之处，在十三讲中用到了这个方法。才发现该方法的意义之大，大大减少了计算量，提高了正确率。
这里复习分布积分的列表求法：
对于 \(\int uv^{(n+1)}d_{x}\) 有：
虽然章鱼说不用背，但我还是觉得背下来后结合表格记忆会更加深刻，不然可能出现很久之后只记得证明列表，但忘记本质的问题，从而导致列表时不坚定、做法模糊。
这里主要关心第一项和最后一项，以及中间的正负号的规律。
一般来说，右侧用来求元函数的 \(v\) 是一个很容易求原函数的函数，而左侧的 \(u\) 则是一个很容易求导的函数。
所以常见于一个幂函数✖️指数函数的情况。
对表格的第一列，列出两个函数本身。然后从左往右对 \(u\) 持续微分，对 \(v\) 持续积分。
这个表格有一个特点，就是第一列的第二行，也就是 \(v^{(n+1)}\) 只会在表格中出现，不会参与最终的计算结果。明显可以看到，最终的结果是从 \(v^{(n)}\) 开始参与的。计算时应该要注意到这个特征，不要产生疑惑。
可以发现，幂函数总能求导到 \(0\)，所以对于 \(u\) 为幂函数的情况，最后一项往往是没有的，这样看来还是很好算的。
这个方法不太好直接背诵，最好的方法是在题目中往该方向想，并不断加深印象。
拐点判别¶
必要条件：
\(设f''(x_{0})\) 存在, 且 \((x_{0},f(x_{0}))\) 为曲线的拐点，则 \(f''(x_{0})=0\).
三个充分条件：
- 第一充分条件：在 \(x_{0}\) 的左右领域内，\(f''(x_{0})\) 变号。（本质为零点定理）
- 第二充分条件：\(f''(x_{0})=0,f'''(x_{0})\neq 0\).
- 第三充分条件：设 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处 \(n\) 阶可导，且 \(f^{(m)}(x_{0})=0(m=2,\dots,n-1),f^{(n)}(x_{0})\neq 0(n\geq 3)\)，则当 \(n\) 为奇数时，点 \((x_{0},f(x_{0}))\) 为曲线的拐点.