【第6讲】中值定理相关整理

本是在学习第十一讲，用到拉格朗日中值定理的地方不能很容易地回忆起来。方才意识到这一块已经开始遗忘，翻看笔记发现当时学习中值定理这一块时只制作了思维导图，并没有在 Obsidian 中留下笔记📒。遂决定回过来将这一块内容补上。

这一块内容在各种不等式证明题中频繁出现，极其重要，最好是牢牢掌握，将自己训练成人形中值定理哈希机器。

一、中值定理¶

1.1 涉及函数¶

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 1. 定理 1（有界与最值定理）：$m\leq f(x)\leq M$,其中 $m,M$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值与最大值。 2. 定理 2（介值定理）：当 $m\leq \mu\leq M$ 时，存在 $\xi\in[a,b]$，使得 $f(\xi)=\mu$. 3. 定理 3（平均值定理）：当 $a<x_{1}<x_{2}<\dots<x_{n}<b$ 时，在 $[x_{1},x_{n}]$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $$ f(\xi)= \frac{f(x_{1})+f(x_{2})+\dots f(x_{n})}{n}. $$ 4. 定理 4（零点定理）：当 $f(a)\cdot f(b)<0$ 时，存在 $\xi\in(a,b)$，使得 $f(\xi)=0$.

1.2 涉及导数¶

定理 5（费马定理） 设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处满足 $\begin{cases}1.可导, \\2. 取极值,\end{cases}$ 则 $f'(x_{0})=0$. （函数零点定理） 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导， $f'_{+}(a)\cdot f'_{-}(b)<0$ 时，存在 $\xi\in(a,b)$，使得：

$$ f'(\xi)=0 $$ 2. 定理 6（罗尔定理）

\[ 设f(x)满足\begin{cases} 1. 在[a,b]上连续, \\ 2. 在(a,b)内可导,则存在\xi\in(a,b),使得f'(\xi)=0. \\ 3. f(a)=f(b), \end{cases} \]

注 1 推广的罗尔定理. 设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，$\lim_{ x \to a^+ }f(x)=\lim_{ x \to b^- }f(x)=A$，则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f'(\xi)=0$，其中区间 $(a,b)$ 可以是有限区间也可以是无穷区间，$A$ 可以是有限数也可以是无穷大.

具体的使用方法为构造函数，见 [[【前8讲】必背公式和定理整理]]

定理 7（拉格朗日中值定理）

设 $f(x)$ 满足 $\begin{cases}1.在[a,b]上连续,\\2. 在(a, b)上可导,\end{cases}$ 则存在 $\xi\in(a,b)$，使得 $$ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),\ $$ 或者写成 $$ f'(\xi)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$

积分形式：

\[ \int_{a}^b f(x) d_{x} = (b-a)f(x) \]

对于拉格朗日中值定理，在十一讲积分的不等式应用大量用到了，这也是本文整理的由来：[[【第11讲】积分积分应用（二）]].

定理 8（柯西中值定理）

设 $f(x),g(x)$ 满足 $\begin{cases}1.在[a,b]上连续,\\2.在(a,b)内可导, 则存在\xi\in(a,b), 使得\\ 3.g'(x)\neq 0, \end{cases}$

$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}. $$ 5. 定理 9（泰勒公式）

见 [[【基础】泰勒展开式]] 的专门整理。

1.3 涉及积分¶

二、微分等式¶

学习十一讲暂时没有用到，下一次需要拾起时再来整理也不迟。

三、微分不等式¶

同上，暂时不用整理。