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【Math】三角函数基础整理

1. 基本定义

基本函数 英文 缩写 表达式 语言描述
正弦函数 sine \(sin\) \(a/c\) ∠A的对边比斜边
余弦函数 cosine \(cos\) \(b/c\) ∠A的邻边比斜边
正切函数 tangent \(tan\) \(a/b\) ∠A的对边比邻边
余切函数 cotangent \(cot\) \(b/a\) ∠A的邻边比对边
正割函数 secant \(sec\) \(c/b\) ∠A的斜边比邻边
余割函数 cosecant \(csc\) \(c/a\) ∠A的斜边比对边
上表所对应的图

注：正切函数、余切函数曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。

一个方法速记各种关系：

  1. 对角乘积为 \(1\)，即互为倒数。
  2. 六边形中任意三个相邻顶点，处于中间的函数等于两边相邻函数值的乘积，例如：\(\sin \theta=\cos\theta \tan \theta\)
  3. 阴影部分三角形，处于上方两个顶点的平方和等于下方顶点的平方值，如：\(\sin\theta^{2}+\cos\theta^{2}=1\)、\(\tan^{2}\theta+1^{2}=\sec ^{2}\theta\)

速记方法

其中倒数关系如下： - \(\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}\) 或 \(\sec\theta \cos\theta=1\) - \(\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}\) 或 \(\csc\theta \sin\theta=1\) - \(\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}\) 或 \(\cot\theta \tan\theta=1\)

商数关系： - \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) - \(\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)

平方关系： - \(\sin ^{2}\alpha+\cos ^{2}\alpha=1\) - \(1+\cot ^{2}\alpha=\csc ^{2}\alpha\) - \(1+\tan ^{2}\alpha=\sec ^{2}\alpha\)

2. 诱导公式

\(\sin\) 与 \(\cos\) 的半个周期加上 \(\alpha\) 改变正负号，本质上是因为两者的周期恰好分为正负相反的两个 \(\pi\) 周期，故加上半个周期显然是改变符号的。

\(\(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\)\) \(\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\)\)

\(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\) 的关系

  1. \(sin\)
\[\sin \frac{\pi}{2}\pm\alpha=\cos\alpha\]
  1. \(cos\) $$ \cos \frac{\pi}{2}+\alpha=-\sin\alpha $$ $$ \cos \frac{\pi}{2}-\alpha=\sin\alpha $$
  2. \(tan\) $$ \tan \frac{\pi}{2}+\alpha=-\cot\alpha $$ $$ \tan \frac{\pi}{2}-\alpha=\cot\alpha $$
  3. \(cot\) $$ \cot \frac{\pi}{2}+\alpha=-\tan\alpha $$ $$ \cot \frac{\pi}{2}-\alpha=\tan\alpha $$

3. 函数图像

3.1 正弦

3.2 余弦

3.3 正切

3.4 余切

2.3 正割

3.6 余割

image.png

4. 三角函数常用公式

4.1 倍角公式

  1. \(\sin 2\alpha\) = \(2\sin\alpha \cos\alpha\)
  2. \(\cos2\alpha\) = \(\cos ^{2}\alpha-\sin ^{2}\alpha\) = \(1-2\sin ^{2}\alpha\) = \(2\cos ^{2}\alpha-1\)
  3. \(\sin3\alpha\) = \(-4\sin ^{3}\alpha+3\sin\alpha\)
  4. \(\cos3\alpha\) = \(4\cos ^{3}\alpha-3\cos\alpha\)
  5. \(\tan 2\alpha\) = \(\frac{2\tan\alpha}{1-\tan ^{2}\alpha}\)
  6. \(\cot2\alpha\) = \(\frac{{\cot ^{2}\alpha-1}}{2\cot\alpha}\)

4.2 半角公式

  1. \(\sin \frac{^{2}\alpha}{2}\) = \(\frac{1}{2}(1-\cos\alpha)\)
  2. \(\cos \frac{^{2}\alpha}{2}\) = \(\frac{1}{2}(1+\cos\alpha)\)
  3. \(\sin \frac{\alpha}{2}\) = \(\pm \sqrt{ \frac{{1-\cos\alpha}}{2} }\)
  4. \(\cos \frac{\alpha}{2}\) = \(\pm \sqrt{ \frac{1+\cos\alpha}{2} }\)
  5. \(\tan \frac{\alpha}{2}\) = \(\frac{{1-\cos \alpha}}{\sin\alpha}\) = \(\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\) = \(\pm \sqrt{ \frac{{1-\cos\alpha}}{1+\cos\alpha} }\)
  6. \(\cot \frac{\alpha}{2}\) = \(\frac{\sin\alpha}{{1-\cos \alpha}}\) = \(\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\) = \(\pm \sqrt{ \frac{1+\cos\alpha}{{1-\cos\alpha}} }\)

4.3 和差公式

  1. \(\sin(\alpha\pm\beta)\) = \(\sin\alpha \cos\beta\pm \cos\alpha \sin\beta\)
  2. \(\cos(\alpha\pm\beta)\) = \(\cos\alpha \cos\beta\mp \sin\alpha \sin\beta\)
  3. \(\tan(\alpha\pm\beta)\) = \(\frac{{\tan\alpha\pm \tan\beta}}{1\mp \tan\alpha \tan\beta}\)
  4. \(\cot(\alpha\pm\beta)\) = \(\frac{{\cot\alpha \cot\beta\mp{1}}}{\cot\beta\pm \cot\alpha}\)

4.4 积化和差与和差化积公式

1️⃣积化和差公式 1. \(\sin\alpha \cos\beta\) = \(\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\) 2. \(\cos\alpha \sin\beta\) = \(\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\) 3. \(\cos\alpha \cos\beta\) = \(\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\) 4. \(\sin\alpha \sin\beta\) = \(-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]\)

简化口诀：

\(S表示\sin,C表示\cos\)，左边依次填入 \(\alpha,\beta\)，右边依次填入 \(\alpha+\beta,\alpha-\beta\).

  1. \(SC\) = \(\frac{1}{2}(S+S)\)
  2. \(CS\) = \(\frac{1}{2}(S-S)\)
  3. \(CC\) = \(\frac{1}{2}(C+C)\)
  4. \(SS\) = \(-\frac{1}{2}(C-C)\)

2️⃣和差化积公式 (本质就是从积化和差换元得到的) 1. \(\sin\alpha+\sin\beta\) = \(2\sin \frac {{\alpha+\beta}} {2} \cos \frac{{\alpha-\beta}}{2}\) 2. \(\sin\alpha-\sin\beta\) = \(2\sin \frac {{\alpha-\beta}} {2}\cos \frac{{\alpha+\beta}}{2}\) 3. \(\cos\alpha+\cos\beta\) = \(2\cos \frac {{\alpha+\beta}} {2} \cos \frac{{\alpha-\beta}}{2}\) 4. \(\cos\alpha-\cos\beta\) = \(-2\sin \frac {{\alpha+\beta}} {2} \sin \frac{{\alpha-\beta}}{2}\)

4.5 万能公式

若 \(u=\tan \frac{x}{2} (-\pi<x<\pi)\)，则 \(\sin x= \frac{2u}{1+u^{2}}\)，\(\cos x = \frac{{1-u^{2}}}{1+u^{2}}\).

5. 反三角恒等式

在第九讲中计算题的一个步骤里用到了，知识到用时方恨少，记得有这么一个公式 \(\sin(\arccos x)=\dots\) 却怎么也想不起来...好在最好找到了，在第一讲 P 69，为了避免下次再忘记，整理在这里并导入 Anki 背诵。

  1. \(\sin(\arcsin x)\) = \(x, x\in[-1,1]\)
  2. \(\sin(\arccos x)\) = \(\sqrt{ 1-x^{2} }, x\in[-1,1]\)
  3. \(\cos(\arccos x)\) = \(x,x\in[-1,1]\)
  4. \(\cos(\arcsin x)\) = \(\sqrt{ 1-x^{2} },x\in[-1,1]\)
  5. \(\arcsin(\sin x)\) = \(x,x\in\left[ - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]\)
  6. \(\arccos(\cos x)\) = \(x,x\in[0, \pi]\)
  7. \(\arcsin x+\arccos x\) = \(\frac{\pi}{2}(-1\leq x\leq 1)\)

6. 诱导公式

诱导公式，极其重要。掌握主动配凑诱导公式才能解决部分换元法的题目，不能只停留在计算诱导公式的层面，更多要学会逆用和主动配凑。 见三十讲 P 597 附录.

下面八个公式要熟稔于心，常用于换元法当中：

  1. \(\sin\left( \frac{\pi}{2}\pm\alpha \right)\) = \(\cos\alpha\)
  2. \(\sin(\pi\pm\alpha)\) = \(\mp \sin\alpha\)
  3. \(\cos\left( \frac{\pi}{2}\pm\alpha \right)\) = \(\mp \sin\alpha\)
  4. \(\cos(\pi\pm\alpha)\) = \(-\cos\alpha\)

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